Teorie del Caos e la Psicometria

Lorenz, come abbiamo detto, aveva scoperto sistemi caotici dentro la stessa matematica notando che piccole variazioni iniziali generavano grandi cambiamenti nel risultato. Investigazioni posteriori in questa stessa disciplina hanno rivelato nuovi aspetti della stessa questione. Prendiamo due esempi nei quali si possono notare situazioni apparentemente caotiche, sempre dentro il dominio della matematica.

Primo esempio.

Nel 1976, il fisico nordamericano Mitchell Feigenbaum notò che quando un sistema ordinato comincia ad evolvere caoticamente, spesso è possibile trovare una ragione specifica di ciò: una forma geometrica relativa al sistema si riproduce più· volte e diventa progressivamente sempre più complessa.

L'esempio tipico sono i frattali, strutture geometriche dove ogni parte è una replica del tutto. L'esempio più semplice è un segmento di retta, elemento di partenza· che dividiamo in tre parti uguali. Dopo aver cancellato il segmento centrale ripetiamo il procedimento con gli altri due indefinitamente. Ad ogni passo successivo si ritroverà in ogni parte della figura il segmento diviso in tre parti, privato di quella centrale, fino a che il segmento originale rimane suddivido in segmenti sempre più piccoli che sono una replica del segmento di partenza: ogni parte è una replica del tutto.

Feigenbaum scoprì che, dopo un certo numero di operazioni di replicazione, nell'esempio che abbiamo fatto, il sistema acquisisce un certo tipo di stabilità. Ne risulta il numero di Feigenbaum, che esprime la dimensione frattale della figura e può applicarsi a diversi sistemi caotici, perfino quelli che appaiono nella natura, come potrebbe essere la crescita delle foglie in un albero, o lo spiegamento di un lampo. Tutti questi fenomeni sembrano in principio caotici, ma mediante il modello di Feigenbaum si può scoprire in essi una regolarità che era nascosta.[1]

Secondo esempio.

L'iterazione è un processo con il quale facciamo un'operazione, otteniamo un risultato, ripartiamo da questo risultato per applicargli la stessa operazione, e così via. Per esempio a 1 sommo 1 ed ottengo 2. Al risultato 2 torno a sommare 1 ed ottengo 3, e così in forma iterativa, cioè, ripetitiva. Un altro esempio può essere il seguente: partiamo dal numero 16 e continuiamo a dividerlo per 2 in forma iterativa: così otterremo successivi risultati che sono: 8; 4; 2; 1; 1/2; 1/4; 1/8; ecc. L'insieme di tutti questi numeri si chiama orbita del numero 16, che è stato il nostro numero di partenza. Questa successione è prevedibile, potremmo dire che c'è un ordine evidente: i successivi numeri continuano ad acquisire valori decrescenti, poiché ogni nuovo termine è la metà del termine precedente.

Orbita di X

Numero di partenza (Elemento iniziatore)

Operazione da realizzare (Elemento generatore)

La sequenza è prevedibile se prendiamo come numero di partenza 0.5 e gli applichiamo la serie di operazioni indicate nello schema. Tuttavia, le sorprese appaiono quando cerchiamo di prendere come numero di partenza per esempio 0.3, applicando la stessa procedura. L'orbita così ottenuta si manifesta come imprevedibile: non si tratta di una serie né crescente, né decrescente, né presenta alcun tipo di uniformità: è una serie caotica, almeno in apparenza, come si può constatare nello schema oppure ricorrendo ad una calcolatrice elettronica.

Quello che maggiormente ha richiamato l'attenzione dei matematici è il fatto che, nel caso di numeri di partenza collocati tra 0 e 1, alcuni di essi danno orbite caotiche, mentre altri danno orbite pronosticabili.

La teoria del caos nella matematica cerca di spiegare perché questo tipo di sistemi possono passare da processi pronosticabili ad altri caotici quando variano i numeri di partenza[2].

Ora evidenzieremo come questi esempi, introdotti dai matematici per illustrare la presenza di processi caotici, hanno delle analogie con la psicometria.

Infatti si è potuto notare che le serie orbitali risultanti da operazioni ricorsive come quelle esposte, presentano una somiglianza con le prove di completamento di serie nei tests delle matrici progressive di Raven[3]. ·Questo test prevede delle prove nelle quali l'individuo deve completare una serie a partire dalla scoperta di un ordine nascosto. È come se dicessimo: “Nella serie 1, 3, 5, 7..., che numero viene dopo il 7 ?”. L'individuo risponderà ”9” perché ha capito che c'è un ordine: ogni numero è il risultato della somma di due unità all’elemento precedente (n+2=n’’).

Supponiamo ora che le prove continuino a complicarsi sempre di più, e sottoponiamo all'individuo la serie imprevedibile 0.84, 0.53, 0.99, etc., che raffigura il terzo esempio della nostra tabella. Nel migliore dei casi, egli potrà scoprire la formula ricorsiva corrispondente, fare i calcoli sulla base dei numeri della serie presenti nel test. Possiamo dire che l'individuo ha scoperto l'ordine soggiacente dietro il caos apparente.

E sempre nell'ipotetico caso in cui una successione comincia con una serie caotica di numeri e poi in un determinato momento si trasforma in una serie ordinata, o al contrario, quando la serie comincia ordinatamente ed improvvisamente si trasforma in un'altra serie che è percepita come caotica, si passerebbe dall'ordine al caos. Questi cambiamenti sarebbero davvero sorprendenti, ed è ciò che verifichiamo nei fenomeni naturali, di alcuni dei quali ora parleremo, evidenziando tuttavia che non si possono paragonare serie matematiche e fenomeni naturali.

Il pensiero di Ilya Prigogine occupa qui un posto centrale[4].

[1] Feigenbaum, M.·J. , Quantitative Universality for a Class of Non-Linear Transformations, ·J. Stat. Phys. 19, 25-52, 1978

[2] Brandi P., Ceppitelli R., Salvadori A., Introduzione elementare alla modellizzazione matematica,Università degli Studi di Perugia, 2002.

[3] Raven J.C , Advanced· Progressive· Matrices,Matrici progressive di Raven, Giunti O.S. Organizzazioni Speciali

[4] Prigogine I. , Le leggi del caos, Laterza, Bari, 2006